Charge et décharge d’un condensateur

I – BUT DE MANIPULATION ;

le but de ce TP est l’étude, en fonction du temps,  des variations de la tension U_c aux bornes d’un condensateur,et cela en chargeant et déchargeant le condensateur, puis aux bornes de deux condensateurs montés en série et en parallèle.

II – MATERIEL:

• Un générateur  de tension Uo =9V
• Un interrupteur de deux positions  K
• Une résistance de 10 KΩ
• Un condensateur de 2200 µF
• Un voltmètre, Ampéremétre
• Des fils conducteurs.

III-BASE THEORIQUES:

1- Définition du condensateur :   

Le condensateur est un appareil qui sert à condenser une énergie électrique puis la transformer en courant électrique.

a-L’étude de la charge 

         → La charge se fait par l’alimentation d’un condensateur avec un courant  ELT.

                   ► t_° = 0 => U_c  = 0    ,car q = 0

Puis t = t_°+dt.=>  U_c >0     car q>0 (pendant la charge)   jusqu’à U_c  = U_o.

-En chargeant C a travers R avec U₀ selon la fonction  exprimental .   

 b- L’étude de la décharge :

        → La décharge se fait en reliant le condensateur avec un circuit ELT

                   ► t=0 =>   U_c  = – U_o   ,car la somme des potentiels = 0    ‘mailles’.

donc :    Ic = -Ig = -dq/dt  ,et la somme des courant = 0    ‘une branche’.

         Donc elle se décharge presque totalement.

Démontrer que la loi de la variation de la différence de potentiel aux bornes du condensateur :

On doit démontrer que Uc(t) = U₀(1 – e-t/RC) 

On a : 

(1)Uc + U_R – U₀ = 0….(1)

(1) Uc + U_R = U₀

(1) q/c + RI  = U₀

En dérivant par rapport a «t » on aura :

dq/Cdt + RdI/dt = 0 (2)

(2) dI/dt = -dq/crdt

(2) dI/I = – I/CR

(2) dI/I = – dt/CR

On met l’intégrale aux deux parties :    

∫dI/I =∫(- dt/CR ) 

On obtient:

 log I = -t/CR+θ

 I = e^{(-t/RC+ θ)}

 I = e^-t/RC . e ^θ 

                                               I = e^-t/RC . e ^θ                  (a)

On a ,quand t = 0 , I₀ est égale a :

I₀ = e⁰ . e ^θ

I₀ = e ^θ

On remplace dans (a) on aura donc :

                                               I = I₀.e^-t/RC                              (b)

• D’autre part en a (1) :

(1) Uc + U_R = U₀

(1) Uc = U₀ – RI

On remplace I par (b):

Donc  Uc(t) = U₀ – RI₀.e^-t/RC

Avec  U₀ = RI₀

Donc  Uc(t) = U₀ –U₀.e^-t/RC

                                                       Uc(t) = U₀(1 – e^-t/RC)……(A)

On doit démontrer que : Uc(t) = U_0.e^-t/RC

Uc + U_R = 0  (3)

(3) Uc – U_R = 0

(3) Uc = U_R

(3) q/c = RI

En dérivant par rapport a «t » on aura :

Dq/Cdt = RdI/dt

D’autre part on a I = – dq/dt .Parce que q est décroissante

 et sa dérivée est négative , puis on sait que I est toujours positive , donc on met un moins (-).

Alors –I/C = RdI/dt      dI/I = – dt/RC 

On met l’intégrale aux deux partie :    

∫dI/I = ∫(- dt/CR)  

On obtient:

 log I = -t/CR+θ

 I = e^(-t/RC+θ)

 I = e^-t/RC . e^θ 

                                               I = e^-t/RC.e^θ                  (d)

On a ,quand t = 0 , I₀ est égale a :

I₀ = e⁰ . e^θ

I₀ = e^θ

On remplace cette dernière expression dans (3) on aura donc :

                                               I = I₀.e^-t/RC                             (e)

D’autre part en a (3) :

(3) Uc = U_R 

(3) Uc = RI

On remplace I par (d)

Donc  Uc(t) = RI₀.e^-t/RC

Avec  U₀ = RI₀

Donc  Uc(t) = U₀ .e^-t/RC

                                              Uc(t) = U_0.e^-t/RC

-Nous avons branché une résistance R dans le circuil pour protéger le condensateur et celui-ci se charge et se decharge  a travers elle.

-Le courant qui traverse la résistance R,est le meme que celui qui traverse                           le condensateur par ce que le circuil est série.

-Montrer que pour un temps égal à la constante de temps t =RC

-La charge du condensateur  est égal à :2/3C U₀

Ona : q/c – Uc = 0…….(c) 

On remplace (A) par (c) :   q/c c – U₀(1 – e^-t/RC) = 0             t =RC

q/c – U₀(1 – e^-t/t) = 0            q/c – U₀(1 – e^-1) = 0   

(1 – e^-1) =2/3 q= 2/3 C U₀

-la  d.d.p. aux bornes du condensateur :2/3 U₀

Ona 

Uc(t) = U₀(1 – e^-t/RC)         t =RC

Uc(t) =  U₀(1 – e^-t/t) = 0           Uc(t) = U₀(1 – e^-1)   

                     (1 – e^-1) =2/3         Uc(t) =  2/3U₀

le courant circulant dans le circuit est égale à :1/3  U₀/R

Ona :   U₀ = Uc + RI            Uc(t) = 2/3U₀               U₀ = 2/3U₀ + RI                                                                                                                                                                         

RI=  U₀– 2/3U₀     I =  1/3 U₀ /R 

L énergie emmagasinéepar un condensateur vaut au temps t:

            La puissance:  p(t) =Ui=CUc dUc/dt

Ec=        C Uc dUc/dt dt  = C UcdUc =1/2 C Uc²  (t)         

Mais à t=(-∞)=0

Ec=1/2 C Uc²   (t) [Joule]         

V-RESULTATS  ET EXPLOITATION MESURES :

Etude de la charge d’un condensateur:

* Fixons la tension du générateur à 9 volts : U_o = 9 volts.                                                                                                                                                                         *plaçons le commutateur K en position B pour décharger complètement le condensateur C en court circuitant instantanément la résistance R, C à d (U_c= 0 volt).  

       A un instant t = 0, on place K à la position de A, pour charger le condensateur, et on déclanche simultanément le chronomètre.

Relevons du voltmètre les tensions U_c toutes les cinq  secondes pendant deux minutes, et complétons le tableau ci-dessous :

Calcul l’incertitude :

ΔLog (U₀ – U_c) = ∆U_c / U₀– U_c

A. N :    ΔU_c = ΔU_{c (lecture)} = (0.01+0.1) =0.11 v

T = 0 s   ΔLog (U₀ – U_c) = 0.11 / 9- 0 = 1.22. 10^-2 v

Calcul d’erreur ∆t : 

         ∆t = ∆t_ecture = 1 s

–Tracer le graphe Log (U₀-U_c)=f(t) (voir papier millimétré)

-. Calcul la tangente et déduire la constante du temps :

on remarque que le graphe est une droite qui ne passe pas par l’origine, son équation est  sous forme de :

                         y=a x +b ……….. (1)

Tel que :

• y : représente physiquement ln (U_o – U_c).
• x : représente physiquement t.
• b : représente physiquement la valeur de ln (U_o – U_c)  a t=0.
• a :    représente graphiquement tg α.  

      calcule de tg α :

On a :    

        tg α = ln (U_o-U_c)₁ – ln (U_o-U_c)₂ / t₁ – t₂

        tg α =  ln(9-0)-ln(9-2)/0-5   

        tg α =  -5 10^-2

U_c ( t ) = U_o[1-exp(- t/τ)] ⇔ U_c( t )  -U_o = -U_o*exp(- t/ τ) 

                                           ⇔ U_o– U_c(t) = U_o* exp(- t/ τ) 

   ⇔ln [U_o –U_c (t )]= ln (U_o ) + ( –t / τ)

   ⇔ln [U_o –U_c (t )] =  – t / τ + ln U_o …… (2)

D’après (1)et(2) on déduis : 

a = – 1/τ  

b = ln U_o 

d’ ou :

τ = – 1/a τ = – 1/5 10^-2

τ = 20 ms              

t= RC=10000*0.0022=22ms

Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.

Calculer l énrgie emmagasinée par le condensateur:

Ec=1/2 C Uc² ona   Uc(t) = U₀(1 – e^-t/RC)  et t = t  Uc =  U₀(1 – e^-t/t)            

Ec=1/2 C (2/3U₀)²                Ec= C U₀² 2/9=0.0396 J               

  t=5t Uc =  U₀(1 – e^-t/5t) Ec=1/2 C (U₀(1 – e^-t/5t))²=0.0032

on dit que le condensateur chargea t=5t.

2 – 3’ Etude de la décharge d’un condensateur:

• On place le commutateur K en position A pour charger le condensateur complètement en court circuitant la résistance R quelques instants (Uc = Uo).

A un instant t = 0 , on place K en position B pour décharger le condensateur C , et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.  

et complétons le tableau ci-dessous 

Calcul d’incertitude :

               ∆Log U_c = ∆U_c / U₀ – U_c    

A. N :    ΔU_c = ΔU_{c (lecture)} = (0.01+0.1) =0.11 v

t = 0              ∆Log U_c = 0.11 / (9 – 8.9 ) =1.1  v

–Tracer le graphe Log (U_c)=f(t) (voir papier millimétré

Détermination graphique de la valeur de la constante de temps τ :

  on remarque que le graphe est une droite qui passe par l’origine son équation est de la forme de :

         y = ax+b………………..(a)

tel que :

• y : représente physiquement ln (U_o / U_c) .
• x : présente physiquement t .
• b : présente physiquement ln U_o .
• a : présente mathématiquement la pente de graphe tg α .

et physiquement :

  on a : U_c(t) = U_o ( e^{–t/ τ})….….(1)

(1) 🡺U_c / U_o =  e^{–t/ τ}        ⬄ ln (U_c / U_o ) = ln ( e^{–t/ τ} )

• ln (U_c / U_o ) = – t / τ

ln (Uc / U_o ) = – t / τ ………….(b)       

      Calcule de  (τ) a partir du graphe  

 donc :

           tg α = ln (U_c)₁ – ln (U_c)₂ / t₁ – t₂

          tg α = ln (7.3.1) – ln(5.03)/5-15

          tg α = -0.038

de (a) et (b) en déduit que :

tg α =-1 / τ  🡺 τ = -1 / tg α

                   🡺 τ = 26.08 ms

      Comparaison de τ et RC :

 t= RC=10000*0.0022=22ms

                                 RC ≈ τ

Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.

  2 – 7’ Etude de la décharge de deux condensateurs en série:

On fait la même étude précédente pour les deux condensateur C₁ et C_{2 :}

On place le commutateur K en position A pour charger le condensateur complètement en court-circuitant la résistance R quelques instants (Uc = Uo).

A un instant t = 0 , on place K en position B pour décharger le condensateur C , et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 min

Tableau expérimentale : On obtient les résultats suivants :

Tracer le graphe Log (U_c)=f(t) (voir papier millimétré

               Calcul d’incertitude :               

               ∆Log U_c = ∆U_c / U₀ – U_c    

A. N :    ΔU_c = ΔU_{c (lecture)} = (0.01+0.1) =0.11 v

t = 0              ∆Log U_c = 0.11 / (9 – 8.9 ) =1.1  

Détermination graphique de la valeur de la constante de temps τ :

  On remarque que le graphe est une droite qui ne passe pas par l’origine te son équation est de forme :

                        y = ax+b      

On sait d’après le 1^er calcule que :

   ln (U_c / U_o ) = – t / τ   

      Calcule de  (τ) a partir du graphe 

 Donc :

         tg α = ln (U_c)₁ – ln (U_c)₂ / t₁ – t₂

             tg α = ln (2.12) – ln(1.4)/20-25

        tg α = -0.084

tg α =-1 / τ  🡺 τ = -1 / tg α

                   🡺 τ = -1/0.082

                       τ =11.9 ms                             

      Comparaison de τ et RC_éq :

1/C = 1/C1 + 1/C2      C = C1C2/C1+C2 C = 0.0011 F

       RC_éq = 11ms                      RC_éq≈ τ

Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.

Conclusions:

* Dans ce TP, pour chaque cas(étude d’un seul condensateur ou deux :en série ou en parallèle)la valeur du temps τ est constante, c à d pour chaque cas τ de la charge est égale à τ de la décharge ; et τ _{expérimental}  est presque égale à τ _théorique .

* Les deux valeurs de la constante du temps τ : théorique et expérimental ne sont pas exactement égales, et ça est dû aux incertitudes des appareils utilisés (voltmètre et chronomètre) et aux incertitudes de lectures sur ces appareils. 

* La valeur de la constante de temps τ pour un montage de deux condensateurs en série dont leurs capacités sont égales, et égale à τ’/2   (τ’ est la constante du temps pour un montage composé d’un seul condensateur qui a la même valeur des deux précédents).

Version numérique: