Traitement numérique du signal. Première partie : Bases mathématiques

octobre 31, 2018 Mourad ELGORMA

On désigne par signal déterministe, ou simplement par signal, une fonction d’une ou de plu-
sieurs variables de temps ou d’espace, en général à valeurs réelles ou complexes. Un signal est
un modèle commode pour décrire et étudier les variations continues d’un paramètre physique
(tension, intensité lumineuse, pression…) : on parle alors de signal analogique ; ou encore pour
modéliser un ensemble discret de valeurs indexé par des variations quantifiées (du temps, de
variables d’espace…), et on parle alors de signal numérique. Tandis qu’un signal déterministe
modélise les variations d’un paramètre au cours d’une expérience unique, la notion de signal
aléatoire permet de rassembler des signaux déterministes différents (chaque trajectoire d’un si-
gnal aléatoire est un signal déterministe), mais dont on présume des propriétés communes. Par
exemple les trajectoires de chacune des boules de loto mélangées dans une urne sont différentes
mais interchangeables ; on pourrait caractériser leurs propriétés communes comme celles d’un
unique signal aléatoire. Les signaux temporels sont seulement fonctions de la variable de temps.
Lorsque le signal évolue de façon continue avec le temps, on parle de signaux à temps continu.
Dans le cas où le signal est une fonction à variable discrète du temps, le signal est dit à temps
discret. La plupart des concepts et des résultats présentés dans ce cours pour des signaux tem-
porels admettent des extensions pour des signaux multivariés. Ainsi, le traitement des images
fait largement appel aux extensions bi-dimensionnelles.
Très souvent, les signaux à temps discret sont obtenus en retenant les valeurs prises par un
signal à temps continu en certains instants, à des fins de stockage ou de traitement sur calcula-
teur. Cette opération est appelée échantillonnage et, par extension, les signaux à temps discret
sont souvent appelés signaux échantillonnés. L’échantillonnage est un préalable au traitement
numérique du signal, dont l’importance pratique n’a cessé de croı̂tre depuis l’apparition des
moyens de calculs informatiques. Désormais un simple PC doté d’une carte d’acquisition et d’un
langage évolué peut souvent remplacer avantageusement les analyseurs de spectre, corrélateurs
et autres filtres à transfert de charges… , dispositifs d’analyse et de traitement analogiques coû-
teux et fragiles. L’échantillonnage des signaux permet aussi le stockage en mémoires de masse
numériques, disques durs, vidéodisques, supports magnétiques… C’est pourquoi nous insistons
particulièrement dans ce cours sur la manipulation des signaux à temps discret.
Notion de système
On peut définir les systèmes comme les modèles mathématiques des diverses transformations
subies par les signaux : par exemple une onde qui se propage est modifiée suivant les carac-
téristiques de transmission du milieu qu’elle traverse ; une quantité physique mesurée par un capteur subit une certaine altération, qui traduit l’effet de la « réponse » du capteur. Plus gé-
néralement, on caractérise la relation d’entrée-sortie d’un système quelconque par un opérateur
mathématique qui associe à un signal d’entrée x(t) un signal de sortie y(t). On s’intéressera
plus spécifiquement aux cas particuliers des filtres linéaires homogènes, dont la caractéristique
d’entrée-sortie est un opérateur linéaire invariant dans le temps. Ces filtres possèdent de nom-
breuses propriétés mathématiques et fournissent souvent un premier niveau de description sa-
tisfaisant (par exemple, pour des petites variations du signal d’entrée) de systèmes physiques
beaucoup plus compliqués.

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