1. Partie théorique

1. Les filtres 

Un filtre est un circuit électrique capable de transmettre sélectivement certaines composantes sinusoïdales d’un signal périodique.

On peut aussi dire qu’un filtre est tout circuit dont |A(jω)| dépend de la pulsation ω (ou de la fréquence).

Un filtre parfait doit permettre de transmettre avec un certain retard (Φ≠0) mais sans déformation (|A|=1) les différentes composantes de l’excitation dans un domaine de fréquence appelé bande passante.

Il permet d’éliminer les composantes (|A|=0) situées en dehors de la bande-passante, c’est à dire pour des fréquences situées dans la bande coupée.

1. Fonction de transfert 

• A l’entrée, on applique le signal (excitation) sinusoïdal :                                                  V_e(t) = E_m.cos(ωt+φ_e) →V_e= E_m.exp[j(ωt+φ_e)] 

• A la sortie, on étudie la réponse du circuit :                   V_s(t) = S_m.cos(ωt+φ_s) → V_s(t) = S_m.exp[j(ωt+φ_s)]

• Par définition : fonction de transfert complexe du circuit  

                                                               A (jω) =   V_sV_e

• Intérêt 

• |A (jω)| = G(ω) = S_m/E_m

⇒  permet de déterminer l’amplitude de la réponse S_m par rapport à celle de l’excitation, en fonction de la fréquence.

• Arg [A (jω)] = Φ(ω) =  φ_s – φ_e

⇒  permet de déterminer le déphasage Φ de la réponse par rapport à l’excitation, en fonction de la fréquence.

1.  Gains 

•Gain du filtre              : G(ω) = |A(jω)|= S_m/E_m

•Déphasage                  : Φ(ω) = Arg [A (jω)] = φ_s – φ_e

•Gain en dB (décibel)   : G_dB(ω) = 20.log |A| = 20.log G(ω) (Il s’agit du logarithme base 10).

1.  Diagramme de Bode

Le Diagramme de Bode  est une représentation de la fonction de transfert A(jω) à l’aide de deux courbes:

             a/  Courbe de réponse en gain:(Amplitude de A(jω) ) 

Elle donne la variation du gain G_dB en fonction de logω (ou de logf) : 

G_dB= f(logω)

             b/  Courbe de réponse en phase:

Elle donne la variation du déphasage Φ en fonction de logω (ou de logf) : 

Φ= g(logω)

1. Pulsation de coupure, bande passante

• La Pulsation de coupure ω_c ; elle est définie par : 

• La Bande passante est l’intervalle de pulsation Δω qui satisfait à la formule suivante : 

     Gmax/√2 ≤ G(ω)  ≤ Gmax          ⇔ G_dB max–3 ≤  G_dB (ω) ≤ G_dB max

C’est dans ce domaine de fréquence que le filtre est efficace.

1. Etude du Circuit RC

Un circuit RC est un circuit composé d’une résistance et d’un condensateur associés, généralement,  en série et alimenté par une source de tension.

• L’impédance complexe du circuit :

• L’expression de I en fonction V_e :

  Et avec l’impédance,                                             

Qu’elle que soit le montage (passe-bas ou bien passe-haut).

• Circuit passe-bas

• L’expression de V_s en fonction de V_e :

Pour un circuit passe-bas   V_s = Z_c I

.

.

• L’expression de la fonction de transfert A(jω) =V_s/V_e :

• Le gain et la phase 

L’expression complexe de A, appelée fonction de transfert du filtre, permet de donner deux grandeurs accessibles à l’expérience1 :

− le gain qui correspond au module de A,    

− la phase qui correspond à l’argument de A, 

• Circuit passe-haut
• L’expression de V_s en fonction de V_e :

Pour un circuit passe-haut     V_s = Z_R I

• L’expression de la fonction de transfert A(jω) =V_s/V_e :

• Le gain et la phase

L’expression complexe de A, la fonction de transfert du filtre, permet de calculer deux grandeurs accessibles à l’expérience :

– le gain qui correspond au module de A,

– la phase qui correspond à l’argument de A,

• La fréquence de coupure f :

La fréquence f_c , appelée « fréquence de coupure », est la fréquence qui correspond à l’atténuation du signal transmis par le circuit

On dit aussi qu’elle est la fréquence pour laquelle les deux impédances ont des modules égaux ;

Quand   f = f_c :                  

= – Arctg (WRC)

    = – Arctg (2f RC)

    = – Arctg (2.RC.  12π RC)  = -arctg(1) = – 4

L’analyse du circuit dans le domaine des fréquences permet de déterminer quelles fréquences le filtre rejette ou accepte

En sachant que   W=2f     → f=w/2

L’expression de A(j) :

Quand  : c’est-à-dire        f →  0 

L’expression de la phase :

• L’expression de A et de ϕ lorsque  f → ∞    

Quand c’est-à-dire  f→∞

Et 

1.  Partie pratique :

Matériel nécessaire

• Un GBF.
• Un oscilloscope.
• Un multimètre.
• Une résistance de valeur R=10K.
• Un condensateur C=10nF.

Détail de la méthode 

On observe V_s  sur l’écran de l’oscilloscope et on cherche pour quelle(s) fréquence(s) V_s crête à crête ou efficace est maximum. 

•  Pour un filtre passe bas ce sont des basses fréquences. 

•  Pour un filtre passe haut ce sont des hautes fréquences. 

Pour cela, on fait varier seulement la fréquence du GBF de façon à trouver pour quelle valeur de la fréquence, l’amplitude de V_s diminue jusqu’à une valeur V_SC. 

Pour cette fréquence particulière, V_s est alors atténuée de 3 dB (20. log(0,707) = -3) et on appelle cette fréquence, la fréquence de coupure à -3 dB. 

1.  Filtre Passe-Bas :

= (2*)/T

On sait que l’atténuation à 12 du signal transmis par le circuit RC a lieu pour la fréquence de coupure  

Donc : V_smax =1.9 (v) ⇒ V_s=1.34   d’où, on aura :

Et sachant que théoriquement, la fréquence de coupure f₀ du filtre est telle que :

          f_c = 12 RC                   f₀ = f_c = 12π.  102 . 102. 10e-9 

Comparaison 

On remarque que la valeur théorique est à peu prés égale à la valeur pratique ; la petite différence est dû aux erreurs commises par le manipulateur est aux incertitudes des appareils.  

• La courbe de V_s en fonction de la fréquence f 

La variable X correspond à une normalisation de la fréquence qui généralise les résultats à un filtre passe bas quelconque. 

Le mode de représentation utilisant des échelles linéaires pour l’amplitude, la phase et la fréquence, pour les variables dépendantes et indépendante, est d’un usage assez rare en électronique car elle ne permet pas de « voir » les détails avec la même précision tout au long de l’échelle des fréquences. On lui préfère généralement une représentation logarithmique d’où on a introduit les diagrammes de Bode.

• Etude du Diagramme de Bode (passe-bas)

La représentation la plus classique est celle des diagrammes de Bode. L’amplitude de la fonction de transfert est en dB, celle de la phase reste linéaire en radians et l’axe des fréquences est logarithmique.

• Interprétation des résultats :

Parmi les résultats remarquables on note :

•  Pour X = 1, l’amplitude est de (-3) dB (1 2 = 0.7 ) et la phase de -π/4, nous sommes à la fréquence de coupure ;
•  Pour X → 0, l’amplitude tend vers 0 dB (1 en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande passante ;
•  Pour X → ∞, l’amplitude tend vers -∞ dB (0 en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande atténuée.
• Ces caractéristiques, comme la courbe amplitude, justifient le nom de passe-bas donné à ces types de filtres (LP pour Low Pass en anglais).

• Conclusion

Lorsque la sortie du filtre est prise sur le condensateur, les hautes fréquences sont atténuées et les basses fréquences sont passées; c’est un comportement type d’un filtre qu’on l’appelé  passe-bas. 

1.  Filtre Passe –Haut 

= (2*)/T

• La fréquence de coupure

                        f0==1592,35 HZ=1,592 KHZ

On sait que la fréquence de coupure est mesurée lorsque

Donc : V_{s max}=1.95⇒ V_s=1.37→ f_c ≈ 1.5Khz

 Comparaison   

Comme dans un circuit passe-bas, cité plus haut, on remarque que la valeur théorique est à peu prés égale à la valeur pratique en tenant compte des erreurs commises lors de la manipulation ainsi que les incertitudes des appareils.  

• La courbe de V_s en fonction de la fréquence f  

• Etude du Diagramme de Bode (passe-haut)

Par rapport au passe-bas les deux composants sont permutés et le schéma d’étude est celui de la figure ci-dessous.

L’amplitude de la fonction de transfert est en dB, celle de la phase reste linéaire en radians et l’axe des fréquences est logarithmique.

• Interprétation des résultats :

• pour X = 1, l’amplitude est de -3 dB, comme pour le passe-bas, et la phase de +π/4, nous  sommes à la fréquence de coupure ; on garde ici le nom de fréquence de coupure bien que ce soit celle à partir de laquelle le filtre devient passant, en fait il coupe au dessous de cette fréquence ;
• pour X → 0, l’amplitude tend vers -∞ dB (0 en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande atténuée ;
• pour X → ∞, l’amplitude tend vers 0 dB (1 en échelle linéaire), nous sommes dans la zone de la bande passante
• Ces caractéristiques, comme la courbe amplitude justifient le nom de passe-haut donné à ces types de filtres (HP pour High Pass en anglais).

• Conclusion 

Si la sortie est prise sur la résistance, l’inverse (du passe-bas) se produit et le circuit se comporte comme un filtre passe-haut.

Conclusion générale :

Un filtre est donc caractérisé par : 

• Sa fonction de transfert.

• Son diagramme de Bode (courbe de gain et courbe de phase).
• Sa (ses) fréquence(s) de coupure et sa bande passante.

Les fréquences pour lesquelles la tension de sortie V_s càc est maximum  sont comme suit :

•  Pour un filtre passe bas ce sont des basses fréquences. 

•  Pour un filtre passe haut ce sont des hautes fréquences. 

Version numérique: