Circuit RLC en régime oscillatoire

But de la manipulation :

Détermination de la valeur de la résonance du circuit RLC, et calcul de son coefficient de qualité Qo.

I – Etude du courant I en fonction de la capacité C :

Matériels utilisés :

• Un générateur de tension alternative basse fréquence GBF  V = 0.5 volt , f = 2000 Hz
• Une bobine de résistance R et d’inductance L.             R = 25 Ω, L = 9 mH
• Un condensateur C variable .                                        
• Un ampèremètre A et un voltmètre V.

1. Etude théorique : 

Question 1 :  Montrer que V/I = R. En cas de résonance.

On sait qu’on as de résonance on a :

               Lω0 = 1/Cω0                                               (1)

               Et

               V = √R² – ( Lω0 – 1/Cω0 )² .I       (2)

Résultat : V = √R² .I

Donc : R =V/I.

Question 2 : Montrer que LCω0 = 1

D’après la relation (1)  –   Lω0 = 1/Cω0   

1. ⇒ LCω0² = 1.    

1. Etude expérimentale :

*) calcule d’incertitude et erreurs commises sur les valeur :            

• Tension

ΔV = 0.001/2 = 0.0005 volt.

• Capacité :

ΔC = ΔClecture = 0.001/2 = 0.0005 μF

• Intensité :

 ΔI = ΔI lecture  + ΔI appareil  

ΔI lecture  :

pour le calibre 1 :   ΔI lecture  = 0.02 / 4 = 0.005 μF            ΔI appareil  = (2.5 * 1)/100 = 0.025 μF

ΔI = 0.005 + 0.025 = 0.03  μF                                     

pour le calibre 3 :   ΔI lecture  = 0.01 / 4 = 0.0025 μF          ΔI appareil  = (2.5 * 3)/100 = 0.075 μF

ΔI = 0.0025 + 0.075 = 0.0775 μF                                                 

pour le calibre 10 : ΔI lecture  =  0.2 / 4 = 0.05 μF               ΔI appareil  = (2.5 * 10)/100 = 0.25 μF

 ΔI = 0.05 + 0.25 = 0.3  μF                                                

pour le calibre 30 : ΔI lecture  = 0.1 / 4 = 0.025 μF              ΔI appareil  = (2.5 * 30)/100 = 0.75 μF

ΔI = 0.025 + 0.75 = 0.775 μF                                                     

• Résistance : 

R = V/I (*)

(*) ⇔ log R = logV – log I

     ⇔ d log R = d log V – d log I

     ⇔ dR/R = dV/V –dI/I

     ⇔ ΔR/R = ΔV/V + ΔI/I

     ⇔ ΔR = R (ΔV/V + ΔI/I)

• Inductance :

ΔL = (ΔC/C)L

On fixe la fréquence f à 2 kHz et la tension à 0.5 volt.

On fait varier la valeur du condensateur C de 0 à 1.5 μF par pas de 0.1 μF,et on veille à chaque fois avant de lire le courant I correspondant à C réglé de ramener la tension à 0.5 volt.

1. On établie le tableau des valeur prises :

1. On trace la courbe I = f(C) à 2 kHz (voir la feuille millimétrée)

1. Déduire les valeur de I et de C correspondantes à l’état de résonance :

*)calcule de ΔIo_moy

ΔIo_moy = [(0.03*2)+(0.0775*1)+(0.3*3)+(0.775*10)]/16 = 0.549 mA

A l’état de résonance l’intensité prend la valeur de Io qui est n’est autre que le point culminant du graphe.

Io = (19.5 ± 0.549) mA.

C = (0.7 ± 0.0005) μF .

1. On calcule R et L :

A l’état de résonance 

*) R = V / I . donc 

    R = 0.5 / (19.5*10^-3)

    R = 25.64 Ω 

 ΔR = R( ΔV/V+ΔI/I )

ΔR = 25.64(0.0005/0.5+0.549/19.5)= 0.747 Ω

donc

                      R = (25.64±0.747)  Ω

**) LCω²_o = 1.  donc

      L = 1 / Cω²_o.

      L = 1/ (0.7*10^-6).4000π.

      L = 9.055 . 10^-3

• Cacule de ΔL :

ΔL =  L(ΔC/C)

ΔL = 9.055. (0.0005/0.7) = 6.46*10^-3 mHenrie

donc

                      L = (9.055±6.46*10^-3 )mH

1. Comparaison :

R _inscrite = R _{expérimentale –} c.a.d que les résistances sont les mêmes (inscrite sur la bobine et trouvée par l’expérimentation) _.

L _inscrite = L _{expérimentale –} c.a.d que les inductances sont les mêmes (inscrite sur la bobine et trouvée par l’expérimentation) _.

Conclusion:

On conclut que à l’état de résonance R ,L ,et C sont constants.

c.a.d

R _inscrite = R _{expérimentale} 

L _inscrite = L _{expérimentale}

C _inscrite = C _{expérimentale}

II) – Etude du courant I en fonction de la fréquence f:

Etude théorique :

D’après la première partie , on a trouvé que :

1/Cωo = Lωo,

en divisant sur R on aura

1/CRωo = Lωo/R = Qo qui est n’est autre que le coefficient de qualité.

Etude expérimentale :

Matériels a utilisé :

• Un générateur de tension alternative basse fréquence GBF  V= 0.5 volt
• Une bobine de résistance R et d’inductance L.             R = 25Ω, L=9 mH
• Un condensateur C variable .                                         C = 0.7μ F
• Un ampèremètre A et un voltmètre V.
•  

1) calcule d’incertitude et erreurs commises sur les valeur :            

• Tension

ΔV = 0.001/2 = 0.0005 volt.

• Capacité :

ΔC = ΔClecture = 0.001/2 = 0.0005 μF

• Intensité :

 ΔI = ΔI lecture  + ΔI appareil  

ΔI lecture  :

pour le calibre 1 :   ΔI lecture  = 0.02 / 4 = 0.005 μF            ΔI appareil  = (2.5 * 1)/100 = 0.025 μF

ΔI = 0.005 + 0.025 = 0.03  μF                                     

pour le calibre 3 :   ΔI lecture  = 0.01 / 4 = 0.0025 μF          ΔI appareil  = (2.5 * 3)/100 = 0.075 μF

ΔI = 0.0025 + 0.075 = 0.0775 μF                                                 

pour le calibre 10 : ΔI lecture  =  0.2 / 4 = 0.05 μF               ΔI appareil  = (2.5 * 10)/100 = 0.25 μF

 ΔI = 0.05 + 0.25 = 0.3  μF                                                

pour le calibre 30 : ΔI lecture  = 0.1 / 4 = 0.025 μF              ΔI appareil  = (2.5 * 30)/100 = 0.75 μF

ΔI = 0.025 + 0.75 = 0.775 μF                                                     

• Résistance : 

R = V/I (*)

(*) ⇔ log R = logV – log I

     ⇔ d log R = d log V – d log I

     ⇔ dR/R = dV/V –dI/I

     ⇔ ΔR/R = ΔV/V + ΔI/I

     ⇔ ΔR = R (ΔV/V + ΔI/I)

• Inductance :

ΔL = (ΔC/C)/L

• Fréquence :

Δf = 100/4 = 25 Hz.

Avec le même montage de circuit , on fixe la capacité du condensateur à 0.7 μF et on fait varier la fréquence de 1000 à 3000 Hz par pas de 200 Hz , en veillant à chaque fois avant de lire le courant I correspondant à f réglé de ramener la tension à 0.5 volt .

1. On établie le tableau des valeur prises :*

1. On trace la courbe I = f(C) à 2 kHz (voir la feuille millimétrée)

1. Déduire les valeur de Io et de fo correspondantes à l’état de résonance :

• calcule de ΔIo_moy :

ΔIo_moy = [(0.775*9) + (0.3*2)]/11 = 0.688 mA.

A l’état de résonance l’intensité prend la valeur de Io qui est n’est autre que le point culminant du graphe.

Io = (19.5  ± 0.688) mA.

fo = (2000 ± 25)  Hz.

1. On calcule graphiquement le rapport fo/⏐f1 – f2⏐, ou f1 et f2 représentent les fréquences correspondantes à la valeur du courant I = Io/√2 :

Io = (19.5 ± 0.688) mA.

Alors I = Io/√2 = (13.78±0.688) mA.

f1 et f2 correspondantes à la valeur du courant I sont :

f1 = (1740 ± 25)  Hz 

f2 = (2486.66 ± 25)  Hz

le rapport fo/⏐f1 – f2⏐est :

fo/⏐f1 – f2⏐= 19.5/⏐1740 –2486.66⏐= 2.67

On calcule Qo :

A l’état de résonance Qo = 1/RCωo = Lωo/R .

Qo = (9 * 10^-3 * 4000π)/25

Qo = 5.52

Avec 

ΔQo =Qo.(ΔL/L+ΔR/R)

ΔQo = 5.52*7.17*10^-4*7.14*10^-4 = 14.31*10^-4 

alors

                  Qo = 5.52±14.31*10^-4

1. On compare la valeur de Qo calculée et le rapport fo/⏐f1 – f2⏐ :

On trouve Qo = 2. fo/⏐f1 – f2⏐

Conclusion :

A l’état de résonance on trouve Qo (qui est le coefficient de qualité) , et sa valeur est de 2. fo/⏐f1 – f2⏐. 

Question : Faut-il augmenter ou diminuer Qo pour avoir une bonne résonance ? (un pic de résonance étroit).

Réponse : 

Il faut augmenter Qo pour avoir une bonne résonance.

Justification :

Pour avoir une bonne résonance (un pic de résonance étroit) , il faut que Qo soit grand , c.a.d il faut que le rapport fo/⏐f1 – f2⏐soit grand , Δf  petit fait en sorte que le pic de résonance soit étroit. 

Version numérique: