Charge et décharge d’un condensateur
I – Le condensateur :
Un condensateur électrique est caractérisé par sa tension U (exprimée en volts) et par sa capacité C (exprimée en farads). La charge Q (positive ou négative), prise par chacune des deux armatures dans le cas d’un courant continu, est proportionnelle à la capacité du condensateur et à la tension appliquée aux bornes (Q = CU). L’énergie W qu’il peut emmagasiner est égale à 1/2CU².
II – But de la manipulation :
Etude en fonction du temps des variations de la tension Uc aux bornes d’un condensateur dans le circuit de charge ou de décharge de ce condensateur.
III – Etude de la charge et de la décharge d’un condensateur :
1 – Etude Théorique :
1 – 1 Charge d’un condensateur :
On doit démontrer que Uc(t) = U0(1 – e-t/RC)
On a :Uc + UR + U0 = 0 (*)
(*)Uc + UR – U0 = 0
(*) Uc + UR = U0
(*) q/c + RI = U0
En dérivant par rapport a «t » on aura :
dq/Cdt + RdI/dt = 0 (**)
(**) dI/dt = -dq/crdt
(**) dI/I = – I/CR
(**) dI/I = – dt/CR
On met l’intégrale aux deux parties :
∫dI/I =∫(- dt/CR )
On obtient:
log I = -t/CR+θ
I = e(-t/RC+ θ)
I = e-t/RC . e θ
I = e-t/RC . e θ (1)
On a ,quand t = 0 , I0 est égale a :
I0 = e0 . e θ
I0 = e θ
On remplace dans (1) on aura donc :
I = I0.e-t/RC (2)
D’autre part en a (*) :
(*) Uc + UR = U0
(*) Uc = U0 – RI
On remplace I par (2)
Donc Uc(t) = U0 – RI0.e-t/RC
Avec U0 = RI0
Donc Uc(t) = U0 –U0.e-t/RC
Uc(t) = U0(1 – e-t/RC)
1 – 2 Décharge d’un condensateur:
On doit démontrer que : Uc(t) = U0.e-t/RC
Uc + UR = 0 (***)
(***) Uc – UR = 0
(***) Uc = UR
(***) q/c = RI
En dérivant par rapport a «t » on aura :
Dq/Cdt = RdI/dt
D’autre part on a I = – dq/dt .Parce que q est décroissante
et sa dérivée est négative , puis on sait que I est toujours positive , donc on met un moins (-).
Alors –I/C = RdI/dt dI/I = – dt/RC
On met l’intégrale aux deux partie :
∫dI/I = ∫(- dt/CR)
On obtient:
log I = -t/CR+θ
I = e(-t/RC+θ)
I = e-t/RC . eθ
I = e-t/RC.eθ (3)
On a ,quand t = 0 , I0 est égale a :
I0 = e0 . eθ
I0 = eθ
On remplace cette dernière expression dans (3) on aura donc :
I = I0.e-t/RC (4)
D’autre part en a (***) :
(***) Uc = UR
(***) Uc = RI
On remplace I par (4)
Donc Uc(t) = RI0.e-t/RC
Avec U0 = RI0
Donc Uc(t) = U0 .e-t/RC
Uc(t) = U0.e-t/RC
2 – Etude expérimentale:
2 – 1’ Réalisation du montage charge ou décharge d’un condensateur suivant :
– Source de tension continu Uo = 8.98 V
– Interrupteur K
– Condensateur
– C = F
– Voltmètre V
– Résistance
– R = ohm
.
.
2 – 2’ Etude de la charge d’un condensateur:
- Manœuvre : On place le commutateur K en position B pour décharger le condensateur complètement en court circuitant la résistance R quelques instants (Uc = 0).
A un instant t = 0 , on place K en position A pour charger le condensateur C , et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.
- Tableau expérimentale :On obtient les résultats suivants :
| t (s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| Uc (V) | 1,3 | 2,73 | 3,82 | 4,7 | 5,42 | 6,11 | 7,02 | 7,63 | 8,03 | 8,32 | 8,52 | 8,66 | 8,75 | 8,81 | 8,86 |
| log(Uo-Uc) | 2,039 | 1,833 | 1,641 | 1,454 | 1,260 | 1,054 | 0,673 | 0,300 | -0,051 | -0,416 | -0,777 | -1,14 | -1,46 | -1,772 | -3.9 |
- Traçage de la courbe log(Uo-Uc) en fonction du temps :Voir feuille millimétrée.
- Analyse du graphe :
La courbe log(Uo-Uc) = f(t) est une ligne droite qui ne passe pas par l’origine donc la forme de son équation est de :
y = Ax + B …Mathématiquement
log(Uo/Uc) = At + B … Graphiquement
Théoriquement :
On rappel que Uc = Uo(1 – e-t/τ ) Etude théorique 1ere partie.
On a Uc = Uo – Uo.e-t/τ (*)
(*)Uo – Uc = Uo.e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = log Uo.e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = logUo + Log e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = -t/τ t + logUo
log(Uo-Uc) = -1/τ t + logUo
- On déduit graphiquement la valeur de la constante :
A = -1/ = 1.054 – 1.27/ 30 – 25 = -0.0432
-1/ = -0.0432 = 1/0.0432 = 23.14
- Puis on compare cette valeur avec celle calculée :
On a R = 10 k omh et C = 0.0022 F
RC = 10000 * 0.0022 = 22
Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.
2 – 3’ Etude de la décharge d’un condensateur:
- Manœuvre : On place le commutateur K en position A pour charger le condensateur complètement en court circuitant la résistance R quelques instants (Uc = Uo).
A un instant t = 0 , on place K en position B pour décharger le condensateur C , et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.
- Tableau expérimentale : On obtient les résultats suivants :
| t (s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| Uc (V) | 7,39 | 6,22 | 5,06 | 4,2 | 3,43 | 2,85 | 1,92 | 1,31 | 0,9 | 0,62 | 0,43 | 0,3 | 0,21 | 0,14 | 0,1 |
| Log(Uc/Uo) | -0,195 | -0,367 | -0,574 | -0,75 | -0,962 | -1,148 | -1,543 | -1,925 | -2,300 | -2,673 | -3,039 | -3,399 | -3,756 | -4,161 | -4,498 |
- Traçage de la courbe log(Uc/Uo) en fonction du temps :Voir feuille millimétrée.
- Analyse du graphe :
La courbe log(Uc/Uo) = f(t) est une ligne droite qui passe par l’origine donc la forme de son équation est de :
y = Ax …Mathématiquement
log(Uc/Uo) = At … Graphiquement
Théoriquement :
On rappel que Uc = Uo. e-t/τ Etude théorique 1ere partie.
On a Uc = Uo.e-t/τ (*)
(*)Uc/Uo = e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = loge-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = -1/τ t
log(Uo/Uc) = -1/τ t
- On déduit graphiquement la valeur de la constante :
A = -1/ = -0.574 – (-0.367) / 15 – 10 = -0.0414
-1/ = – 0.0414 = 24.15
- Puis on compare cette valeur avec celle calculée RC = 0.0022 * 10000 = 22
Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.
2 – 4’ Etude de la charge de deux condensateur en parallèle:
- Manœuvre : On place le commutateur K en position B pour décharger le condensateur complètement en court circuitant la résistance R quelques instants (Uc = 0).
A un instant t = 0, on place K en position A pour charger le condensateur C, et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.
- Tableau expérimentale : On obtient les résultats suivants :
| t (s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| Uc (V) | 0,76 | 1,6 | 2,3 | 2,92 | 3,54 | 4,09 | 4,97 | 5,66 | 6,22 | 6,73 | 7,1 | 7,43 | 7,7 | 7,91 | 8,08 |
| log(Uo-Uc) | 2,107 | 1,999 | 1,899 | 1,802 | 1,694 | 1,587 | 1,389 | 1,19 | 1,015 | 0,811 | 0,631 | 0,438 | 0,247 | 0,068 | -0,1 |
- Traçage de la courbe log(Uo-Uc) en fonction du temps :Voir feuille millimétrée.
- Analyse du graphe :
La courbe log(Uo-Uc) = f(t) est une ligne droite qui ne passe pas par l’origine donc la forme de son équation est de :
y = Ax + B …Mathématiquement
log(Uo/Uc) = At + B … Graphiquement
Théoriquement :
On rappel que Uc = Uo(1 – e-t/τ ) Etude théorique 1ere partie.
Puisque les deux condensateurs sont en parallèle, on utilisera la capacité équivalente qui est de :
C = C1 + C2 = 0.0022 + 0.0022 = 0.0044 F
On a Uc = Uo – Uo.e-t/τ (*)
(*)Uo – Uc = Uo.e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = log Uo.e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = logUo + Log e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = -t/τ t + logUo
log(Uo-Uc) = -1/τ t + logUo
- On déduit graphiquement la valeur de la constante :
A = -1/ =1.999 – 2.107 / 10 – 5 = -0.0216
-1/ = -0.0216 = 1/0.0216 = 46.29
- Puis on compare cette valeur avec celle calculée RC = 10000 * 0.0044 = 44
Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.
2 – 5’ Etude de la décharge de deux condensateurs en parallèle:
- Manœuvre : On place le commutateur K en position A pour charger le condensateur complètement en court circuitant la résistance R quelques instants (Uc = Uo).
A un instant t = 0 , on place K en position B pour décharger le condensateur C , et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.
- Tableau expérimentale : On obtient les résultats suivants :
| t (s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| Uc (V) | 8,19 | 7,34 | 6,71 | 6,03 | 5,48 | 4,89 | 4 | 3,27 | 2,69 | 2,21 | 1,83 | 1,49 | 1,23 | 1,02 | 0,85 |
| log(Uc/Uo) | -0,092 | -0,202 | -0,291 | -0,398 | -0,494 | -0,608 | -0,809 | -1,010 | -1,205 | -1,402 | -1,591 | -1,796 | -1,988 | -2,175 | -2,357 |
- Traçage de la courbe log(Uc/Uo) en fonction du temps :Voir feuille millimétrée.
- Analyse du graphe :
La courbe log(Uc/Uo) = f(t) est une ligne droite qui ne passe pas par l’origine donc la forme de son équation est de :
y = Ax + B …Mathématiquement
log(Uc/Uo) = At + B … Graphiquement
Théoriquement :
On rappel que Uc = Uo. e-t/ Etude théorique 1ere partie.
Puisque les deux condensateurs sont en série , on utilisera la capacité équivalente qui est de :
C = C1 + C2 = 0.0022 + 0.0022 = 0.0044 F
On a Uc = Uo.e-t/τ (*)
(*)Uc/Uo = e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = log e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) =Log e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = -t/τ t
log(Uo-Uc) = -1/τ t
- On déduit graphiquement la valeur de la constante :
A = -1/ = -0.608 – (-0.494) / 30 – 25 = -0.0228
-1/ = -0.0228 = 43.85
- Puis on compare cette valeur avec celle calculée RC = 44 (avec C = C1C2/C1+C2)
Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.
2 – 6’ Etude de la charge de deux condensateur en série:
- Manœuvre : On place le commutateur K en position B pour décharger le condensateur complètement en court-circuitant la résistance R quelques instants (Uc = 0).
A un instant t = 0, on place K en position A pour charger le condensateur C, et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.
- Tableau expérimentale : On obtient les résultats suivants :
| t (s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| Uc (V) | 2,7 | 4,69 | 6,16 | 7,06 | 7,7 | 8,1 | 8,57 | 8,78 | 8,87 | 8,92 | 8,93 | 8,94 | 8,95 | 8,96 | 8,97 |
| log(Uo-Uc) | 1,837 | 1,456 | 1,037 | 0,652 | 0,247 | -0,128 | -0,892 | -1,609 | -2,207 | -2,813 | -2,996 | -3,219 | -3,507 | -3,912 | -4,605 |
- Traçage de la courbe log(Uo/Uc) en fonction du temps :Voir feuille millimétrée.
- Analyse du graphe :
La courbe log(Uo-Uc) = f(t) est une ligne droite qui ne passe pas par l’origine donc la forme de son équation est de :
y = Ax + B …Mathématiquement
log(Uo/Uc) = At + B … Graphiquement
Théoriquement :
On rappel que Uc = Uo(1 – e-t/τ ) Etude théorique 1ere partie.
Puisque les deux condensateurs sont en parallèle, on utilisera la capacité équivalente qui est de :
1/C = 1/C1 + 1/C2 C = C1C2/C1+C2 C = 0.0011 F
On a Uc = Uo – Uo.e-t/τ (*)
(*)Uo – Uc = Uo.e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = log Uo.e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = logUo + Log e-t/τ
(*)log(Uo-Uc) = -t/τ t + logUo
log(Uo-Uc) = -1/τ t + logUo
- On déduit graphiquement la valeur de la constante :
A = -1/ = 1.037 – 1.456 / 15 – 10 = -0.0838
-1/ = -0.0838 = 1/0.0838 = 11.93
- Puis on compare cette valeur avec celle calculée RC = 0.0011 * 10000 = 11
Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.
2 – 7’ Etude de la décharge de deux condensateurs en série:
- Manœuvre : On place le commutateur K en position A pour charger le condensateur complètement en court-circuitant la résistance R quelques instants (Uc = Uo).
A un instant t = 0 , on place K en position B pour décharger le condensateur C , et on déclenche simultanément le chronomètre. Puis on relève alors les tensions Uc toutes les 5 secondes pendant 2 minutes.
- Tableau expérimentale : On obtient les résultats suivants :
| t (s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| Uc (V) | 6,13 | 4,12 | 2,66 | 1,91 | 1,26 | 0,87 | 0,39 | 0,19 | 0,091 | 0,053 | 0,031 | 0,02 | 0,013 | 0,011 | 0,009 |
| log(Uc/Uo) | -0,382 | -0,779 | -1,217 | -1,547 | -1,964 | -2,334 | -3,137 | -3,856 | -4,592 | -5,132 | -5,669 | -6,107 | -6,538 | -6,705 | -6,906 |
- Traçage de la courbe log(Uc/Uo) en fonction du temps :Voir feuille millimétrée.
- Analyse du graphe :
La courbe log(Uo/Uc) = f(t) est une ligne droite qui ne passe pas par l’origine donc la forme de son équation est de :
y = Ax + B …Mathématiquement
log(Uo/Uc) = At + B … Graphiquement
Théoriquement :
On rappel que Uc = Uo. e-t/τ Etude théorique 1ere partie.
Puisque les deux condensateurs sont en série, on utilisera la capacité équivalente qui est de :
1/C = 1/C1 + 1/C2 C = C1C2/C1+C2 C = 0.0011 F
On a Uc = Uo.e-t/τ (*)
(*)Uc/Uo = Uo.e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = log Uo.e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = logUo + Log e-t/τ
(*)log(Uc/Uo) = -t/τ t + logUo
log(Uo-Uc) = -1/τ t + logUo
- On déduit graphiquement la valeur de la constante :
A = -1/ = -1.217-(-0.779) /15 – 10 = -0.0876
-1/ = 0.0876 = 1/0.0876 = 11.41
- Puis on compare cette valeur avec celle calculée RC = 10000 * 0.0011 = 11
Conclusion : les deux résultats sont presque identique et la différence entre eux revient à l’incertitude des mesures.
